La misteriosa ley Zipf, de 1949, que predice el crecimiento de ciudaddes y que nadie puede explicar.

Durante el siglo pasado, un fenómeno matemático misterioso llamado la ley de Zipf, permitió predecir con gran exactitud el cambio de tamaño de las ciudades en todo el mundo. La cosa es que nadie entiende cómo y por qué funciona esta ley.

Ya en 1949, el lingüista George Zipf notó algo extraño en la frecuencia con que las personas usaban las palabras en un idioma determinado. Se encontró con que un pequeño número de palabras se utilizan todo el tiempo, mientras que la gran mayoría se utilizan muy raramente. Él alineó las palabras en orden de popularidad, y surgió un llamativo patrón. Las palabras que estaban en el primer grupo del ranking se utilizaban siempre dos veces más que las que estaban en el segundo grupo, y tres veces más que las del tercero. Él llamó a esto una regla de rango contra frecuencia, y encontró que también podría ser utilizada para describir la distribución del ingreso en un país determinado, con la persona más rica siendo propietario del doble de dinero que el siguiente más rico, y así sucesivamente.

Más adelante se vio que la denominada ley de Zipf, la regla de rango contra frecuencia, también funcionaba si se aplica a los tamaños de las ciudades. La ciudad con mayor población de cualquier país es generalmente el doble de grande que la siguiente más grande, etc. Aunque parezca increíble, la ley de Zipf ha servido para las ciudades de todos los países del mundo durante el siglo pasado. Basta con echar un vistazo a las ciudades con mayor población en los Estados Unidos. En el censo 2010, la ciudad más grande en los EE.UU. era Nueva York, con una población de 8.175.133 personas. Los Angeles, la segunda, tenía una población de 3.792.621. Y las tres siguientes ciudades, Chicago, Houston y Filadelfia, tenían en ese momento 2.695.598, 2.100.263 y 1.526.006 habitantes respectivamente. Se puede ver que obviamente las cifras no son exactas, pero bajo una mirada estadística son muy consistentes con las predicciones de Zipf.

En el diagrama de Gabaix puede observarse cómo aplicando la Ley de Zipf a las grandes ciudades se genera un diagrama que es una perfecta línea recta cuando se compararan los parámetros potenciales de rango y tamaño

Paul Krugman escribió en 2006 sobre la aplicación de la ley de Zipf a las ciudades, y comentó que “la queja habitual acerca de la teoría económica es que simplifica los modelos, ofreciendo puntos de vista excesivamente ordenados sobre una realidad a menudo confusa y compleja. Con la ley de Zipf pasa lo contrario. Tenemos modelos complejos, desordenados , y sin embargo la realidad es sorprendentemente limpia y simple”.

En 1999 el economista Xavier Gabaix escribió un artículo donde describió la ley de Zipf para las ciudades como una ley de potencias, y demostró cómo el tamaño de las ciudades de Estados Unidos podría ser mapeada en una gráfica lineal. Gabaix señaló que esta estructura se cumplía incluso en el caso en que las ciudades tuvieran tasas de crecimiento caóticas. Pero él y otros economistas también se dieron cuenta de que la estructura ordenada de esta ley de potencias tendía a romperse cuando ya no se estaba hablando de megaurbes. Las ciudades más pequeñas, por debajo de los 100.000 habitantes, parecían obedecer a una ley diferente y mostraban una distribución más normal de tamaños.

Llegados a este punto comenzaron a preguntarse cómo se estaba definiendo exactamente el concepto de ciudad. Cuando se están haciendo este tipo de cálculos, parece arbitrario decir que Boston y Cambridge cuentan como dos ciudades, o que San Francisco y Oakland son entidades distintas simplemente porque están separadas por un trozo de agua. Dos gégrafos suecos respondieron a esta pregunta generando el concepto de "ciudades naturales", basado en la ocupación geográfica y la conectividad de las carreteras en lugar de en las fronteras administrativas. Y lo que encontraron fue que incluso estas "ciudades naturales" obedecían la ley de Zipf .

Las excepciones

Nadie está realmente seguro de las razones que llevan a las grandes ciudades a cumplir este patrón predecible. El tamaño de la ciudad crece debido a la una mayor tasa de natalidad que de mortalidad y la inmigración. Los inmigrantes tienden a acudir a las ciudades más grandes, ya que ofrecen más oportunidades. Pero la inmigración no es suficiente para explicar la ley de potencia que produce esa pendiente tan perfecta en el gráfico de Gabaix. Las razones son también claramente económicas, porque las grandes ciudades tienden a producir más riqueza y ya se ha visto cómo la ley de Zipf se aplica a la distribución de ingresos. Pero todas estas razones siguen sin dar una explicación definitiva.

También hay excepciones a la ley de Zipf, como se encargaron de poner de relieve un grupo de investigadores el pasado año publicando sus conclusiones en la revista Nature. Encontraron que la ley de Zipf sólo se aplica si el grupo de ciudades están integradas económicamente, lo que explicaría por qué la ley de Zipf funciona si nos fijamos en las ciudades de una nación europea determinada, pero no en la UE en su conjunto. Estos investigadores afirman que “de hecho, históricamente, el Estado Nacional es nivel geográfico en Europa en el que se observa una evolución integrada, mientras que los EE.UU., toda la confederación y no cada estado independiente, ha evolucionado de manera colectiva y orgánicamente hacia una distribución de las ciudades que sigue la ley de Zipf.

No es difícil entender por qué una ciudad, que es esencialmente un ecosistema aunque construido por los humanos, debe cumplir con determinadas leyes naturales. Pero la ley de Zipf es algo que parece que no tiene análogo natural. Es social y, como se ha mencionado antes, sólo es válido para las ciudades en los últimos 100 años.Todo lo que se sabe es que la ley de Zipf se aplica a una gran cantidad de otros sistemas sociales, incluidos los económicos y lingüísticos. Así que es posible que haya normas sociales generales en el trabajo que impulsan esta extraña regla de rango contra tamaño, que algún día podríamos entender. Quien pueda descifrarlo puede encontrar la clave para predecir mucho más que el crecimiento urbano. La ley de Zipf puede ser sólo una componente de una gran norma fundamental de la dinámica social que define la forma en la que nos comunicamos, el comercio, y cómo formamos las comunidades en las que vivimos.